\section{功}\label{sec:06.02}

质点的一定的运动状态具有一定的动能。质点的运动状态变
化，它的动能常常也要随之变化。现在我们定义动能的变化过程
为作功，动能的变化量作为功的数量。若在$ t_1 $时刻，质点的动能
为$ T _ { 1 } $；在$ t_2 $时刻，变化到$ T_2 $，则在$ t _ { 1 } $与$ t _ { 2 } $之间的时间里，作功
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的数量为

~\vspace{-2em}
\begin{equation}\label{eqn:06.02.01}
  A = T _ { 2 } - T _ { 1 }
\end{equation}
它的物理意义是，要使质点的动能从$ T_1 $变到$ T_2 $，就要对质点作
功。若$ T _ { 2 } > T _ { 1 } $，即质点动能增加，作功为正；若$ T _ { 2 } < T _ { 1 } $，即质点
动能减小，作功为负。

沿用运动学中的方法，我们可以定义动能的平均变化率：
\begin{equation}\label{eqn:06.02.02}
  \langle P \rangle = \frac { T _ { 2 } - T _ { 1 } } { t _ { 2 } - t _ { 1 } } = \frac { \Delta T } { \Delta t }
\end{equation}
$ \langle P \rangle $称为$ t _ { 1 } $到$ t _ { 2 } $时间间隔内的平均功率。同样，瞬时功率定义为
\begin{equation}\label{eqn:06.02.03}
  P = \lim _ { \Delta t \to 0 } \frac { \Delta T } { \Delta t } = \frac { \dif T } { \dif t }
\end{equation}

为了弄清功、功率与其他力学量之间的关系，我们首先来讨%
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig06.04}
  \caption{质点在力作用下的一维运动}
  \label{fig:06.04}
  \vspace{-0.8em}
\end{figure}%
论一维直线运动。如图\ref{fig:06.04}所示，质量为$ m $的质点在沿$ x $方向的力
$ \vec{F} $作用下，$ t _ { 1 } $时刻在$ x _ { 1 } $ 处，$ t _ { 2 } $时刻运动到$ x _ 2 $。根据牛顿第二定律，有
\begin{equation*}
  m \frac { \dif v } { \dif t } = F
\end{equation*}
两边同乘$ v $，得
\begin{equation*}
  m v \frac { \dif v } { \dif t } = F v
\end{equation*}
\begin{align*}
  \beforetext{亦即} & \frac { \dif } { \dif t } \left( \frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } \right) = F v \\
  \beforetext{或}  & \frac { \dif T } { \dif t } = F v
\end{align*}
\begin{align}\label{eqn:06.02.04}
  \beforetext{所以} P = F v
\end{align}
式\eqref{eqn:06.02.04}就是一维情形下的功率、力、速度三者间的普遍关系。
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\clearpage
由功的定义，显然有
\begin{equation}\label{eqn:06.02.05}
  A = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } P \dif t
\end{equation}
利用式\eqref{eqn:06.02.04}，得
\begin{equation*}
  A = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } F v \dif t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t_ { 2 } } F \frac { \dif x } { \dif t } \dif t
\end{equation*}
\begin{align}\label{eqn:06.02.06}
  \beforetext{所以} A = \mathop{\int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } }}\limits _ { ( l ) } F \dif x
\end{align}
式\eqref{eqn:06.02.05}及式\eqref{eqn:06.02.06}表示质点在$ t_1 $到$ t_2 $时间间隔里，或从$ x_1 $运
动到$ x_2 $的过程中所涉及的功。因此，从上式我们进一步看清，作
功必定涉及到一个过程。功是度量过程的物理量，它与速度、加
速度、能量等度量物体瞬时性的物理量有很大差别。谈某一瞬时
或某一点的功，是没有意义的。式\eqref{eqn:06.02.06}中积分限的写法，就是
为了表达功是过程量，要对运动的过程积分。譬如图\ref{fig:06.05}\;中，若质
\begin{wrapfigure}[3]{l}{17em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig06.05}
  \caption{积分的过程}
  \label{fig:06.05}
\end{wrapfigure}
点运动的过程是从$ x_1 $到$ x_3 $再到$ x_2 $，则积分应由
$ x_1 $到$ x_3 $，再由$ x_3 $到$ x_2 $，
而不是仅由$ x_1 $直接积到$ x_2 $(当然，在特殊条件下，可由$ x_1 $直接积
到$ x_2 $)。

容易将式\eqref{eqn:06.02.04}及式\eqref{eqn:06.02.06}推广到三维情况。这时，牛顿
力学规律是
\begin{equation*}
  m \frac { \dif \vec{ v } } { \dif t } = \vec{F}
\end{equation*}
等式两边点乘$ \vec{ v } $，则有
\begin{align*}
                  & m \vec{v} \cdot \frac { \dif \vec{v} } { \dif t } = \vec{F} \cdot \vec{v}                      \\
  \beforetext{或者} & \frac { \dif } { \dif t } \left( \frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } \right) = \vec{F} \cdot \vec{v}
\end{align*}
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因此，代替式\eqref{eqn:06.02.04}，是
\begin{equation}\label{eqn:06.02.07}
  P = \vec{F} \cdot \vec{v}
\end{equation}
代替式\eqref{eqn:06.02.06}，是
\begin{equation*}
  A = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } P \dif t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \vec{F} \cdot \vec{v} \dif t
\end{equation*}
因为$ \vec{ v } = \dfrac { \dif \vec{ r } } { \dif t } $，故
\begin{equation}\label{eqn:06.02.08}
  A = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \vec{ F } \cdot \frac { \dif \vec { r } } { \dif t } \dif t = \mathop{\int _ { \vec{r} _ { 1 } } ^ { \vec{r} _ { 2 } }}\limits _ { ( l ) } \vec{F} \cdot \dif \vec{r}
\end{equation}
其中$ (l) $表示沿着质点的运动轨道积分。由式\eqref{eqn:06.02.08}可得，质点
在位移$ \Delta \vec{r} $上，外力$ \vec{F} $作功等于
\begin{equation}\label{eqn:06.02.09}
  \Delta A = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = \left|\vec{F}\right| \left|\Delta \vec{r}\right| \cos \theta
\end{equation}
其中$ \theta $是力$ \vec{F} $与位移$ \Delta \vec{r} $之间的夹角。
